04-Matrices & Graphes (partie 1 : matrices)

1. Notion de matrice

Définition : Matrice

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. Une matrice \(m\times n\) est un tableau de nombres réels formé de \(m\) lignes et de \(n\) colonnes.

Sa taille, ou son format, ou encore sa dimension, est \(m\times n\).

Exemple

On écrit le plus souvent les matrices entre parenthèses. La matrice \(M=\begin{pmatrix} 2 & -1,5 & 8 \\ -3 & 0 & 4,2 \end{pmatrix}\) est une matrice de taille \(2\times 3\) : elle possède deux lignes et trois colonnes.

Définitions : Vocabulaire

• Une matrice ligne (ou vecteur ligne) est une matrice formée d'une seule ligne.
• Une matrice colonne (ou vecteur colonne) est une matrice formée d'une seule colonne.
• Une matrice carrée d'ordre \(n\) est une matrice de taille \(n\times n\), avec \(n\in\mathbb{N}^*\).
• Les nombres de la matrice sont appelés les coefficients ou les éléments de la matrice.
• On notera \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices de taille \(m\times n\) à coefficients réels.

Définition : égalité de deux matrices

On dit que deux matrices sont égales lorsqu'elles sont de même taille et qu'elles ont les mêmes coefficients aux mêmes endroits.

Écriture générale d'une matrice

Soit \(A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\). On notera généralement \(a_{i,j}\) le coefficient de \(A\) situé à la \(i^{\textrm{ième}}\) ligne et à la \(j^{\textrm{ième}}\) colonne.

La matrice \(A\) s'écrit alors de façon générale :

\[\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m-1,1} & a_{m-1,2} & \cdots & a_{m-1,n}\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}\]

et on notera \(A = \left(a_{i,j}\right)\).

• Dans une matrice carrée d'ordre \(n\), les coefficients \(a_{1,1}, a_{2,2}, \ldots, a_{n,n}\) sont appelés coefficients diagonaux et forment la diagonale principale de la matrice.
• La matrice unité d'ordre \(n\), notée \(I_n\) est la matrice carrée d'ordre \(n\) ne comportant que des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.
• La matrice nulle d'ordre \(n\), notée \(0_n\) est la matrice carrée d'ordre \(n\) dont tous les coefficients sont nuls.

2. Opérations sur les matrices

2.1. Addition et multiplication par un réel

Définition : Addition de deux matrices

Soit \(A = \left(a_{i,j}\right)\) et \(B = \left(b_{i,j}\right)\) deux matrices de même taille \(m\times n\).

La somme \(A+B\) est la matrice de même taille \(m\times n\) définie par \(C = \left(c_{i,j}\right)\) où \(c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}\) pour \(1\leqslant i\leqslant m\) et \(1\leqslant j\leqslant n\).

Remarque

• Pour ajouter deux matrices de même taille, on ajoute les coefficients situés à la même place.
• Il est évident que \(A+B=B+A\).

Définition : Multiplication par un réel

Soit \(A = \left(a_{i,j}\right)\) une matrice de taille \(m\times n\) et \(\lambda\) un réel.

La matrice \(\lambda A\) est la matrice de même taille \(m\times n\) définie par \(B = \left(b_{i,j}\right)\) où \(b_{i,j}=\lambda a_{i,j}\) pour \(1\leqslant i\leqslant m\) et \(1\leqslant j\leqslant n\).

Remarque

• Les propriétés suivantes sont assez évidentes : pour tous réels \(\lambda\) et \(\mu\), \(\lambda(\mu A)=(\lambda\mu) A\) et \((\lambda+\mu) A = \lambda A + \mu A\).
• En prenant \(\lambda=-1\), on définit l'opposé d'une matrice \(A\) : il s'agit de la matrice dont tous les coefficients sont les opposés des coefficients correspondants de la matrice \(A\).
• La différence de deux matrices \(A\) et \(B\) est définie par \(A-B=A+(-1)\times B\).

Exercice

Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 7 & -8\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(C=A+B\).
2. Calculer \(D=2A-3B\).

2.2. Produit de deux matrices

Définition : Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne

Le produit d'une matrice ligne \(A=(a_1, a_2, \ldots, a_m)\) par la matrice colonne \(B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_m \end{pmatrix}\) est égal à la matrice de taille \(1\times 1\) définie par :

\[A\times B = \left(a_1\times b_1 + a_2\times b_2 + \ldots + a_p\times b_p\right)\]

Remarque

Dans le cas où \(p=2\), on retrouve le calcul du produit scalaire de deux vecteurs.

Définition : Produit de deux matrices

Plus généralement, soit \(A\) une matrice de taille \(m\times n\) et \(B\) une matrice de taille \(n\times p\). Le produit de \(A\) par \(B\) est une matrice de taille \(m\times p\), notée \(A\times B\) ou \(AB\) définie par \(AB=\left(c_{i,j}\right)\) où \(\displaystyle c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\).

Autrement dit, \(c_{i,j}\) est égal au coefficient du produit du \(i^{\textrm{ième}}\) vecteur ligne de la matrice \(A\) par le \(j^{\textrm{ième}}\) vecteur colonne de la matrice \(B\).

Exemple et disposition pratique

Le produit d'une matrice de format \(2\times 3\) par une matrice de format \(3\times 4\) donne une matrice de format \(2\times 4\).

Posons \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ {0} & {1} & {3} \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 4 & {1} & 0 & -1 \\ 1 & {0} & 2 & 1 \\ -1 & {3} & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Le calcul de \(A\times B\) s'écrit alors :

\[ \begin{array}{cc} & \begin{pmatrix} 4 & \mathbf{1} & 0 & -1 \\ 1 & \mathbf{0} & 2 & 1 \\ -1 & \mathbf{3} & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ & \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{3} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} ... & ... & ... & ... \\ ... & \mathbf{9} & ... & ... \end{pmatrix} \end{array} \]

Réponse

\[\begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 & 1 \\ -2 & \mathbf{9} & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

Remarque

• Le produit \(AB\) n'est défini que lorsque le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\).
• En particulier, le fait de pouvoir calculer \(AB\) n'implique pas que \(BA\) existe.

Exercice

Calculer le produit \(\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 4 \end{pmatrix}\).

Proposition : Cas particulier des matrices carrées

• Le produit de deux matrices carrées n'est pas commutatif : il existe des matrices carrées de même ordre \(n\) telles que \(AB\neq BA\).
• Le produit des matrices carrées est associatif : \(A\times(BC)=(AB)\times C\).
• Le produit des matrices carrées est distributif par rapport à l'addition : \(A\times(B+C) = A\times B + A\times C\).
• Pour toute matrice carrée d'ordre \(n\), \(AI_n=I_nA=A\).

Preuve

On prouve seulement le premier point à l'aide d'un contre-exemple. Preuve faite en classe.

2.3. Matrices inversibles

D'une manière générale, on appellera inverse d'une matrice \(M\) carrée d'ordre \(n\) toute matrice \(N\) carrée d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\).

On admet que : Si une telle matrice \(N\) existe, elle est unique et on dira que la matrice \(M\) est inversible, que \(N\) est l'inverse de la matrice \(M\) et on notera \(N=M^{-1}\).

Proposition

• Il existe des matrices carrées qui ne sont pas inversibles.
• Une matrice carrée d'ordre 2 \(A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\) est inversible si, et seulement si \(ad-bc\neq 0\) et, dans ce cas, on a \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).

Preuve

Preuve faite en classe.

Remarque

Le nombre \(ad-bc\) est appelé le déterminant de la matrice \(A\).

Exercice

Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -10 & 12\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
2. Qu'en est-il de \(B\) ?

3. Puissance n-ième d'une matrice carrée

Si \(A\) est une matrice carrée d'ordre \(n\), on notera \(A^2=A\times A\) et, plus généralement \(A^k\) le produit de \(k\) matrices toutes égales à \(A\), pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\).

Par convention, on posera \(A^0 = I_n\).

Proposition : Puissance d'une matrice diagonale

Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\) dont tous les coefficients ont nuls, sauf éventuellement ceux de la diagonale principale, notés \(d_1, d_2, \ldots, d_n\).

Pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\), \(A^k\) est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont \({d_1}^k, {d_2}^k, \ldots, {d_n}^k\).

Preuve

Preuve faite en classe dans le cas \(n=2\).

4. Applications du calcul matriciel

4.1. Résolution de systèmes

Application : résolution d'un système d'équations linéaires

Un système linéaire de \(n\) équations à \(n\) inconnues \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) :

\[\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \ldots + a_{1,n}x_n=y_1\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \ldots + a_{2,n}x_n=y_2\\ \ldots\\ a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \ldots + a_{n,n}x_n=y_n\\ \end{matrix}\right.\]

peut s'écrire sous la forme matricielle \(AX=Y\) où \(A=\left(a_{i,j}\right)\) est une matrice carrée d'ordre \(n\) et \(X=\left(x_{i}\right)\) et \(Y=\left(y_{i}\right)\) sont des vecteurs colonnes de taille \(n\times 1\).

Si \(A\) est inversible, alors le système admet une unique solution donnée par : \(X=A^{-1}Y\).

Exercice

Considérons le système de deux équations à deux inconnues : \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y = 1\\ -x+y = 3\\ \end{matrix}\right.\).

Montrer que ce système admet une unique solution et déterminer cette solution par une méthode matricielle.

4.2. Transformations du plan

Dans ce paragraphe, on se place dans un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\) du plan. On dit qu'un repère orthonormé est direct lorqu'une mesure de l'angle \((\vec{i},\vec{j})\) est égale à \(+\frac{\pi}{2}\) (sens trigonométrique).

Proposition

Soit \(M(x;y)\) un point quelconque du plan et \(\vec{u}\binom{a}{b}\) un vecteur.

• Les coordonnées de l'image \(M'(x';y')\) du point \(M\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) vérifient la relation :

\[\begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}\]

• Soit \(\theta\) un réel et \(M''(x'';y'')\) l'image du point \(M\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\). On a alors :

\[\begin{pmatrix} x''\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\]

Preuve

Pour prouver ces traductions matricielles de la translation et de la rotation, nous nous basons sur les représentations suivantes :

Exercice

Déterminer de la même façon une représentation matricielle de :

• la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses.
• la symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.
• l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\in\mathbb{R}\).

Exercice

Déterminer la valeur exacte des coordonnées de l'image du point \(A(-2,4)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(-\frac{\pi}{3}\).

5. Suites de matrices

On remarquera dans ce paragraphe une forte analogie avec les suites géométriques de nombres réels étudiées en classe de première.

On s'intéresse à des suites \((U_n)\) de matrices colonnes de dimensions \(k\times 1\), où \(k\) est un entier naturel non nul.

Proposition

Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(k\) et \((U_n)\) la suite de matrices colonnes définie par la donnée de \(U_0\) et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(U_{n+1}=A\times U_n\).

Pour tout entier naturel \(n\), on a alors : \(U_n=A^n U_0\).

Preuve

Preuve par récurrence faite en classe.

On considère maintenant une matrice \(A\) carrée d'ordre \(k\) et un vecteur colonne \(B\) de taille \(k\times 1\). On étudie les suites \((U_n)\) de matrices colonnes de dimensions \(k\times 1\) définies par la donnée de \(U_0\) et par la relation de récurrence \(U_{n+1}=A\times U_n+B\), pour tout entier naturel \(n\), avec les mêmes méthodes que celles qui sont utilisées pour les suites numériques.

Exercice : Exemple d'étude d'une suite de matrices

Soit \((U_n)\) la suite de matrices colonnes définie par \(U_0=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(U_{n+1}=A\times U_n+B\), avec \(A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(U_1\)
2. Déterminer une matrice \(X\) telle que \(AX+B=X\).
3. Soit la suite de matrices \((V_n)\) définie par \(V_n=U_n-X\) pour tout entier naturel \(n\). Montrer que \(V_{n+1}=AV_n\) pour tout entier naturel \(n\).
4. En déduire l'expression de \(V_n\), puis de \(U_n\) en fonction de \(n\).
5. Calculer \(U_5\).