Cours-Calcul de probabilités

1. Introduction : la loterie

Exercice

Un jeu est organisé de la manière suivante : une urne contient 7 boules dont 2 sont rouges, 2 sont bleues et 3 sont vertes. Le joueur tire au hasard une boule dans l'urne.

1. Quels sont les issues possibles ?

2. Déterminer la probabilité de chacune d'entre elles.

   Maintenant, le joueur tire une boule, note sa couleur, remet la boule dans l'urne, puis tire une deuxième boule. Il a gagné si les deux boules tirées sont de même couleur, sauf si elles sont toutes les deux vertes.

3. Représenter l'ensemble des issues possibles par un arbre.

4. Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
5. Représenter l'ensemble des résultats possibles par un tableau à double entrée (à la place d'un arbre de probabilités).

Réponses

1. Les issues possibles sont les trois événements \(R\), "tirer une boule rouge", \(B\), "tirer une boule bleue" et \(v\), "tirer une boule verte".
2. Il y a au total 7 boules dans l'urne, dont 2 rouges, 2 bleues et 3 vertes, on a donc \(P(R)=\frac{2}{7}\), \(P(B)=\frac{2}{7}\) et \(P(V)=\frac{2}{7}\).
3. Il s'agit d'un tirage avec remise. Le second tirage est donc en tout point identique au premier tirage, avec les mêmes probabilités.
4. On peut gagner en tirant deux boules rouges : \(P(R~et~R)=\frac{2}{7}\times\frac{2}{7}=\frac{4}{49}\) ou en tirant deux boules bleues : \(P(B~et~B)=\frac{2}{7}\times\frac{2}{7}=\frac{4}{49}\). Au total, la probabilité de gagner est donc égale à \(\frac{4}{49}+\frac{4}{49}=\frac{8}{49}\).

5. On représente les résultats possibles de cette expérience aléatoire dans un tableau à double entrée en inscrivant (par exemple) le résultat du premier tirage en lignes et celui du second tirage en colonnes.

   	\(R\)	\(B\)	\(V\)
   \(R\)	\(RR\)	\(RB\)	\(RV\)
   \(B\)	\(BR\)	\(BB\)	\(BV\)
   \(V\)	\(VR\)	\(VB\)	\(VV\)

2. Vocabulaire des probabilités - Événements

2.1. Vocabulaire de base

Définitions : Vocabulaire

• On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat ne peut être prévu avec certitude.
• On appelle issues, ou événements élémentaires, les différents résultats possibles d'une expérience aléatoire donnée.
• On appelle univers l'ensemble de toutes les issues possibles, pour une expérience aléatoire donnée. L'univers est souvent noté \(\Omega\).

Exercice : Exemple de référence

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Décrire quelles sont les issues possibles, quel est l'univers.

Dans la suite, cette expérience aléatoire sera notre exemple de référence.

Réponses

Dans le cas du lancer d'un dé cubique, les issues possibles sont \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{4\}\), \(\{5\}\) et \(\{6\}\).

L'univers associé est donc l'ensemble \(\Omega=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\).

Définitions : Vocabulaire

Étant donnée une expérience aléatoire et \(\Omega\) l'univers associé, on définit une loi de probabilité sur l'univers \(\Omega\) en associant à chaque issue possible un nombre \(p_i\) de l'intervalle \([0;1]\), appelé probabilité de cette issue, de telle sorte que la somme des probabilités de toutes les issues possibles soit égale à 1 :

\[p_1+p_2+\ldots+p_n=1\]

On dit qu'une loi de probabilité est la loi équirépartie lorsque toutes les issues possibles ont la même probabilité. Dans ce cas, on parle de situation d'équiprobabilité.

Théorème : équiprobabilité

Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'une issue est égale à \(\dfrac{1}{n}\), où \(n\) est le nombre d'issues possibles.

Démonstration

Dans une situation d'équiprobabilité, les \(n\) nombres \(p_1\), \(p_2\), ..., \(p_n\) sont tous égaux. Notons \(p\) leur valeur commune.

La somme des probabilités des issues est égale à 1. On a donc :

\[p_1+p_2+\ldots+p_n=1 \iff n\times p = 1\]

d'où l'on déduit que \(p=\frac{1}{n}\).

Exercice : Exemple de référence

Dans le cas du lancer du dé, quelle est la probabilité de chacune des issues possibles ?

Réponses

Nous avons 6 issues possibles et, si le dé est bien équilibré, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Nous avons donc ici \(p=\frac{1}{6}\).

2.2. Notion d'événement

Définition

Un événement est une partie de l'univers, constituée de différentes issues possibles.

Cas particuliers

1. L'événement qui ne contient aucune issue est l'ensemble vide \(\varnothing\), appelé événement impossible.
2. L'événement qui contient toutes les issues possibles est l'univers \(\Omega\), appelé événement certain.
3. Lorsqu'une issue appartient à un événement \(A\), on dit que cette issue réalise l'événement \(A\).

Exercice : Exemple de référence

Pour chacun des événements suivants, dire quelles issues le réalisent.

• \(A\) : "Obtenir un nombre pair"
• \(B\) : "Obtenir un multiple de 3"

Réponses

\(A=\{2 ; 4 ; 6\}\) et \(B=\{3 ; 6\}\).

Définition : Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement \(A\) est la somme des probabilités des issues qui réalisent cet événement.

En particulier, la probabilité de l'événement impossible est égale à 0 et la probabilité de l'événement certain est égale à 1.

Remarque

Pour tout événement \(A\), sa probabilité est un nombre de l'intervalle \([0;1]\).

Théorème

Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(A\) est donnée par la formule :

\[p(A)=\dfrac{\textrm{nombre d'issues réalisant }A}{\textrm{nombre total d'issues}}\]

Exercice : Exemple de référence

Calculer la probabilité des événements \(A\) et \(B\).

Réponses

Nous avons vu que l'événement \(A\) est composé de 3 issues. On a donc \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

De même pour l'événement \(B\) composé de deux issues : \(P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

3. Calcul de probabilités

3.1. Intersection et réunion d'événements

Définition

Soit \(A\) et \(B\) deux événements. L'intersection des événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), est l'événement constitué des issues qui réalisent à la fois \(A\) et \(B\).

Soit \(A\) et \(B\) deux événements. La réunion des événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est l'événement constitué des issues qui réalisent \(A\) ou \(B\) (ou les deux).

Exercice : Exemple de référence

Soit \(A\) l'événement "Obtenir un nombre pair" et \(B\) l'événement "Obtenir un multiple de trois".

Décrire et déterminer les événements \(A\cap B\) et \(A\cup B\).

Réponses

\(A\cap B\) : "Obtenir un nombre pair et multiple de 3". \(A\cap B = \{6\}\).

\(A\cup B\) : "Obtenir un nombre pair ou un multiple de 3". \(A\cup B=\{2 ; 3 ; 4 ; 6\}\)

3.2. Probabilité d'une réunion

Théorème

Soit \(A\) et \(B\) deux événements, on a alors :

\[p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\]

Sur cette figure, \(A\) est l'ensemble de tous les points colorés en bleu, \(B\) est l'ensemble de tous les points colorés en orange, \(A\cap B\) est l'ensemble de tous les points colorés à la fois en bleu et en orange et \(A\cup B\) est l'ensemble de tous les points colorés.

Cas particulier

Dans le cas de deux événements \(A\) et \(B\) qui ne peuvent se réaliser simultanément, on a \(A\cap B=\varnothing\), et donc \(p(A\cap B)=0\). On dit alors que les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles. La formule devient alors :

\[p(A\cup B)=p(A)+p(B)\]

Exercice : Exemple de référence

Donner la probabilité de \(A\), de \(B\), de \(A\cap B\), de \(A\cup B\).

Donner un exemple d'événements incompatibles.

Réponses

On a déjà vu que \(p(A)=\frac{1}{2}\) et \(p(B)=\frac{1}{3}\).

Par ailleurs, on sait aussi que \(A\cap B = \{6\}\), donc \(p(A\cap B)=\frac{1}{6}\) et \(A\cup B=\{2 ; 3 ; 4 ; 6\}\), donc \(p(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

On vérifie sur cet exemple le théorème précédent : \(p(A)+p(B)-p(A\cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6} = P(A\cup B)\).

Soit \(C\) l'événement "Obtenir un multiple de 5". On a \(C=\{5\}\) et les événement \(A\) et \(C\) sont incompatibles.

3.3. Événements contraires

Définition

Soit \(A\) un événement. On appelle événement contraire de \(A\), et on note \(\bar{A}\), l'événement constitué des issues possibles qui ne réalisent pas \(A\).

Théorème

Soit \(A\) un événement et \(\bar{A}\) son événement contraire. On a alors :

\[p(\bar{A})=1-p(A)\]

Démonstration

Par définition de l'événement contraire, il est clair que \(A\cup\bar{A}=\Omega\) et que les événements \(A\) et \(\bar{A}\) sont incompatibles.

On a donc :

\[p(A\cup\bar{A})=1 \iff p(A)+p(\bar{A})=1\iff p(\bar{A})=1-p(A)\]

Exercice : Exemple de référence

Décrire et déterminer l'événement \(\bar{A}\) et calculer sa probabilité.

Réponses

\(\bar{A}\) : "Obtenir un nombre impair". \(\bar{A}=\{1 ; 3 ; 5\}\). \(p(\bar{A})=1-p(A)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\).