Programme et polycopié de cours

Programme

Manipuler les vecteurs du plan

Contenus

• Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur. Expression de la norme d’un vecteur.
• Expression des coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) en fonction de celles de \(A\) et de \(B\).
• Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité. Application à l’alignement, au parallélisme.

Capacités attendues

• Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
• Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
• Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
• Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
• Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.

Démonstration

• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Résoudre des problèmes de géométrie

Contenus

• Projeté orthogonal d’un point sur une droite.

Capacités attendues

• Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
• Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
• Traiter de problèmes d’optimisation.

Démonstrations

• Le projeté orthogonal du point \(M\) sur une droite \(\Delta\) est le point de la droite \(\Delta\) le plus proche du point \(M\).
• Relation trigonométrique \(cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1\) dans un triangle rectangle.

Approfondissements possibles

• Démontrer que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
• Expression de l’aire d’un triangle : \(\frac{1}{2}ab\sin\widehat{C}\).
• Formule d’Al-Kashi.
• Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.

Polycopié de cours

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